F
faust
Ziyaretçi
Bundan önceki konularda daha çok dalga fonksiyonu eşitliğini sağlayan operatörler karşılığına ψ fonksiyonunu kullanmıştık.Şimdi ise bu dalga fonksiyonunun parçacıkların enerjisini ve koordinat değerlerini ne şekilde değiştirdiği konusu üzerinde duracağız.
Bilindiği gibi bir parçacığın toplam kinetik ve potansiyel enerji fonksiyonu toplam değeri E operatörü ile gösterilir ve yine kinetik enerji operatörü K,potansiyel enerji ise V operatörüyle gösterilir,fakat burada bilmemiz gereken bir şey vardır,bu durumda potansiyel enerji koordinatlarının V değerine (x,y,z) eşit olması durumudur.Peki bu ne anlama geliyor? Schrödinger eşitliğinde bilindiği gibi h² değerinin 8π² bölümüne olan değeri yerine toplamda enerji fonksiyonunu karşılayacak 4π² alması ve toplamda dalga fonksiyonunun ψ fonksiyonu kadar parabolik eksende yukarı değere çıkarması ve bu durumda parçacığın bulunma ihtimalinin yüksek değerlere çıkması demektir.Buradan çıkan denklem
Eψ=Kψ+Vψ
Şeklini alır ve bu değerler toplamı parçacığın kinetik ve potansiyel enerjisine eşit olur.
Bu eşitliğin ikinci dereceden diferansiyel çözümü genelde kompleks fonksiyonu verir,fakat bir tek yapı dolayısıyla ψ fonksiyonu ψ* eşlenik fonksiyonuyla çarpılması gerekir ve bu durumda denklem
ψ*Eψ=ψ*Kψ+ψ*Vψ
şeklini alır.
Daha öncede bahsettiğimiz gibi,potansiyel enerjinin koordinat sistemde olan değeri x,y,z olarak belirlendiğinde ve eşlenik fonksiyonun yerine konduğunda şu eşitliğimizi elde etmiş oluruz.
ψ*Kψ+V (x,y,z,) IψI²
Fakat bu denklemde birim hacim önemsenmez ve hacim elemanı dτ ile çarpılırsa ancak birim hacimde ki yüksek ihtimale değerine ulaşılır.Bu durumda fonksiyonumuz şu şeklini alacaktır.
EIψI². Dτ=ψ*K. dτ+V (x,y,z) IψI². dτ
Burada IψI² değeri birim hacimde ki ihtimal durumunu ifade eder ve diğer sağ tarafta ki terimler ise daha önce de söylediğimiz gibi x,y,z koordinatlarında parçacığın potansiyel enerjisi ile,bu parçacığın herhangi bir yerde bulunma ihtimalinin çarpım değeridir.Sistemde koordinatların integrali alınırsa da ikinci parçacığın ortalama potansiyel enerjisine ulaşmış oluruz.Parçacığın ayrıca burada bulunma ihtimali
IψI². dτ=1
Şeklinde olur ise parçacık burada bulunmak zorundadır.Bu durumda parçacığın normalizasyon şartı,parçacığın hacim elemanının yoğunluk durumunun birim hacimde ki olasılığyla çarpım durumunda olmasıdır,bu değerde zaten 1’e eşittir ve bu durumda parçacık burada bulunma durumundadır,normalize şartına uyan bütün denklemler de aynı zamanda şu şartları da beraberinde getirmelidir.
E=∫ψ*Kψ. dτ+∫ ψ* Vψ. dτ
Bu değerlerin yerini hamiltonyen operatörü alırsa ve schrödinger denklemine uyarlanırsa,denklemimiz toplam enerji değerini karşılayacaktır.
H=−h²/8π² (∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²) + V (x,y,z)
Bu denkleminde diferansiyel operatör toplamı alınırsa,gradyan operatörü şeklini alır ve denklem en nihayetinde şu şeklin alacak ve
∇²=∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²
Denkleminde gradyan operatörüne eşit değerde olacaktır.
İsmail Çelik
Kaynaklar:
Prof.Dr.Zekiye Çınar – Kuantum Kimyası (Çağlayan Yayınları)
Prof.Dr.Fevzi Köksal – Doç.Dr.Rahmi Köseoğlu – Kuantum Kimyası (Bilim Yayınları-2012)
Bilindiği gibi bir parçacığın toplam kinetik ve potansiyel enerji fonksiyonu toplam değeri E operatörü ile gösterilir ve yine kinetik enerji operatörü K,potansiyel enerji ise V operatörüyle gösterilir,fakat burada bilmemiz gereken bir şey vardır,bu durumda potansiyel enerji koordinatlarının V değerine (x,y,z) eşit olması durumudur.Peki bu ne anlama geliyor? Schrödinger eşitliğinde bilindiği gibi h² değerinin 8π² bölümüne olan değeri yerine toplamda enerji fonksiyonunu karşılayacak 4π² alması ve toplamda dalga fonksiyonunun ψ fonksiyonu kadar parabolik eksende yukarı değere çıkarması ve bu durumda parçacığın bulunma ihtimalinin yüksek değerlere çıkması demektir.Buradan çıkan denklem
Eψ=Kψ+Vψ
Şeklini alır ve bu değerler toplamı parçacığın kinetik ve potansiyel enerjisine eşit olur.
Bu eşitliğin ikinci dereceden diferansiyel çözümü genelde kompleks fonksiyonu verir,fakat bir tek yapı dolayısıyla ψ fonksiyonu ψ* eşlenik fonksiyonuyla çarpılması gerekir ve bu durumda denklem
ψ*Eψ=ψ*Kψ+ψ*Vψ
şeklini alır.
Daha öncede bahsettiğimiz gibi,potansiyel enerjinin koordinat sistemde olan değeri x,y,z olarak belirlendiğinde ve eşlenik fonksiyonun yerine konduğunda şu eşitliğimizi elde etmiş oluruz.
ψ*Kψ+V (x,y,z,) IψI²
Fakat bu denklemde birim hacim önemsenmez ve hacim elemanı dτ ile çarpılırsa ancak birim hacimde ki yüksek ihtimale değerine ulaşılır.Bu durumda fonksiyonumuz şu şeklini alacaktır.
EIψI². Dτ=ψ*K. dτ+V (x,y,z) IψI². dτ
Burada IψI² değeri birim hacimde ki ihtimal durumunu ifade eder ve diğer sağ tarafta ki terimler ise daha önce de söylediğimiz gibi x,y,z koordinatlarında parçacığın potansiyel enerjisi ile,bu parçacığın herhangi bir yerde bulunma ihtimalinin çarpım değeridir.Sistemde koordinatların integrali alınırsa da ikinci parçacığın ortalama potansiyel enerjisine ulaşmış oluruz.Parçacığın ayrıca burada bulunma ihtimali
IψI². dτ=1
Şeklinde olur ise parçacık burada bulunmak zorundadır.Bu durumda parçacığın normalizasyon şartı,parçacığın hacim elemanının yoğunluk durumunun birim hacimde ki olasılığyla çarpım durumunda olmasıdır,bu değerde zaten 1’e eşittir ve bu durumda parçacık burada bulunma durumundadır,normalize şartına uyan bütün denklemler de aynı zamanda şu şartları da beraberinde getirmelidir.
E=∫ψ*Kψ. dτ+∫ ψ* Vψ. dτ
Bu değerlerin yerini hamiltonyen operatörü alırsa ve schrödinger denklemine uyarlanırsa,denklemimiz toplam enerji değerini karşılayacaktır.
H=−h²/8π² (∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²) + V (x,y,z)
Bu denkleminde diferansiyel operatör toplamı alınırsa,gradyan operatörü şeklini alır ve denklem en nihayetinde şu şeklin alacak ve
∇²=∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²
Denkleminde gradyan operatörüne eşit değerde olacaktır.
İsmail Çelik
Kaynaklar:
Prof.Dr.Zekiye Çınar – Kuantum Kimyası (Çağlayan Yayınları)
Prof.Dr.Fevzi Köksal – Doç.Dr.Rahmi Köseoğlu – Kuantum Kimyası (Bilim Yayınları-2012)
