Schrödinger denklemi ve özdeşliği

Kuantum mekaniğinin temelini oluşturan schrödinger denklemi bir dalga fonksiyonudur,bu yüzden parçacık gruplarının ne şekilde davranabileceğini daha önceden tam olarak kestiremeyiz,bunun nedeni momentum ve konum belirsizliği olan ve belirsizlik ilkesi olarak tanımlanan heisenberg’in belirsizlik ilkesidir ama bu durumu de broglie hipoteziyle tek bir boyutta aşabiliriz.Bilindiği gibi de broglie hipotezinde bir frekansın dalga boyuyla çarpımı parçacığın hızını verecektir,bunu schrödinger dalga denkleminde yerine koyarsak :

∂^2ψ/∂x^2+∂^2ψ/∂y^2+∂^2ψ/∂z^2+4π^2m^2v^2/h^2 ψ=0

denklemini elde ederiz.
Fakat bu fonksiyon yetersizdir,parçacığın toplam enerjisini ‘E’ (kinetik+potansiyel enerji toplamlarıdır.) denklemde kinetik enerjinin yerini,toplam enerji alınca son fonksiyon şu şekilde olur.

K=h^2/8π^2m ∂^2/∂x^2 – h^2/8π^2m ∂^2/∂y^2 – h^2/8π^2m ∂^2/∂z^2

Eşitlikte operatör’ü (doğru kabul edilmiş önerme) –h^2/8π^2m çarparak denklemin aynı zamanda türevini de bulabiliriz,lineer bağlantı ise p=m.v eşitliğinden px,py,pz cinsinden yazılırsa

E(kin.)=1/2m (px^2+py^2+pz^2) eşitliğini buluruz.

Bu iki denklemin yani klasik olanla (de broglie) schrödinger denklemlerinin arasında ki temel fark ,lineer momentumun px,py,pz değerinin yerini operatörlerin almasıdır ama bu durumu en şu şekilde izah edebiliriz.
Toplam enerji ‘E’ (kin.+pot. Enerjileri toplamıdır.) kinetik enerji operatörü ‘K’ ve potansiyel enerji ‘V’ olur,değerlerin toplamı :
Eψ=Kψ+Kψ yani E=K(kin.)+E(pot.)
bu da en sade biçimi olarak Hψ=Eψ eşitliğini verecektir,burada H hamiltoniyendir yani parçacığın toplam enerjisi veren operatördür.

İsmail Çelik

Kaynaklar
Kuantum Kimyası (Prof.Dr.Zekiye Çınar) Çağlayan Kitabevi